本文属于《电动力学：经典与量子之间》合集中的学习笔记部分，主要记录我在重新学习经典电动力学辐射问题时的理解过程、困惑与阶段性认识。本节将介绍Dirac1938年的文章中对经典电动力学辐射反作用力的推导，以及自能发散问题的质量重整化解决。在此基础上给出Landau Lifshitz方程，其应用实例，以及失效实例。
经典电动力学中，Maxwell方程组描述了电流源如何产生电磁场，Lorentz力与Newton运动定理描述了粒子在电磁场中如何运动，联立这些方程似乎可以给出电磁现象的所有自洽描述。然而，当涉及到电子在自身的运动为源产生的电磁场中的运动时，会出现如下几个问题1：
本节介绍Abraham-Lorentz-Dirac方程和Landau-Lifshitz方程，作为经典电动力学框架下对辐射反作用的自洽描述。
由Max Abraham、Hendrik Lorentz以及P. A. M. Dirac命名，是Dirac在1938年将运动方程中的质量与Abraham-Lorentz力重整化后得到的2。Dirac利用Maxwell方程$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$的解包含推迟解和超前解的特点，将其重新分解为对称和反对称部分：
$$ F^{\mu\nu}_S=\frac{1}{2}(F^{\mu\nu}_{\text{ret}}+F^{\mu\nu}_{\text{adv}}),\ F^{\mu\nu}_R=\frac{1}{2}(F^{\mu\nu}_{\text{ret}}-F^{\mu\nu}_{\text{adv}}) $$
其中推迟解和超前解可分别由对应的Green函数得到：
$$ G_{\text{ret}}(x)=\frac{c}{2\pi}\theta(x^0)\delta(x^2),\ G_{\text{adv}}(x)=\frac{c}{2\pi}\theta(-x^0)\delta(x^2),\\ G_{S}(x)=\frac{c}{4\pi}\delta(x^2),\ G_{R}(x)=\frac{c}{4\pi}\text{sgn}(x^0)\delta(x^2),\ $$
假设粒子世界线为$y=y(\tau)$，则对称和反对称势分别为
$$ A^\mu_S=\frac{\mu_0qc}{4\pi}\int d\tau v^\mu(\tau)\delta(\Delta^2),\ A^\mu_R=\frac{\mu_0qc}{4\pi}\int d\tau v^\mu(\tau)\text{sgn}(\Delta^0)\delta(\Delta^2), $$
其中$\Delta^\mu=x^\mu-y^\mu(\tau),\Delta^2=\Delta^\mu\Delta_\mu,\Delta^0$为其0-分量。积分$d\tau$的范围是$(-\infty,\infty)$，表示对过去和未来所有时刻的贡献进行累加，当我们需要考虑粒子在特定时刻$\tau_0$受到的力时，将观测点（场点$x$）取在粒子世界线上$x=y(\tau_0)$时，令$u\equiv\tau-\tau_0$，Minkowski距离可展开为
$$ \Delta^2=(y(\tau_0)-y(\tau))^2=u^2c^2-\frac{1}{12}u^4a^\mu_0a_{\mu0}+\mathcal{O}(u^5) $$
其中用到$v^\mu_0v_{\mu0}=c^2,v^\mu_0a_{\mu0}=0$以及$v^\mu_0\dot{a}_{\mu0}=-a^\mu_0a_{\mu0}$. 进一步将上述Minkowski距离代入$\delta$函数，并保留领头阶可得
$$ \delta((y(\tau_0)-y(\tau))^2)=\delta(u^2c^2[1-\frac{1}{12c^2}u^2a^\mu_0a_{\mu0}+\mathcal{O}(u^3)])=\frac{1}{2c^2|u|}(\delta(u^+)+\delta(u^-)) $$
反对称部分的势为
$$ A^\mu_R=-\frac{\mu_0q}{8\pi c}\int d\tau\frac{v^\mu(\tau)}{|u|}[\delta(u^+)-\delta(u^-)]=- \frac{\mu_0q}{4\pi c}\int du v^\mu(u+\tau_0)\frac{d\delta(u)}{du}=\frac{\mu_0q}{4\pi c^2}a^\mu(\tau_0), $$
可以看到即使在粒子世界线上发散项亦严格相消，仅留下有限项。由在任意场点$x$处反对称势可求得反对称部分的场为
$$ F^{\mu\nu}_R=\partial^\mu A^\nu_R(x)-\partial^\nu A^\mu_R(x)=\frac{\mu_0qc}{2\pi}\int d\tau \ \text{sgn}(\Delta^0)\delta'(\Delta^2)[v^\nu(\tau)\Delta^\mu-v^\mu(\tau)\Delta^\nu] $$
据此求得粒子受到的来自该场的力
$$ F^\mu_{\text{rad}}=qF^{\mu\nu}v_{0\nu}=\frac{\mu_0cq^2}{2\pi}\int d\tau \ \text{sgn}(\Delta^0)\delta'(\Delta^2)[v\cdot v_0\Delta^\mu-\Delta\cdot v_0v^\mu]=\frac{\mu_0cq^2}{2\pi}\int du \ \text{sgn}(-u)\delta'(\Delta^2)\left[\frac{1}{2}c^2u^2a_0^\mu+\frac{1}{3}u^3(a_0^2v_0^\mu+c^2\dot{a}_0^\mu)\right] $$
积分中由于$\text{sng}(-u)$是奇函数，$\delta'(\Delta^2)$为偶函数，$[\ldots]$中第一项正比于$u^2$为偶函数，积分为0；第二项保留，且利用对称性可得
$$ F^\mu_{\text{rad}}=-\frac{\mu_0cq^2}{3\pi}(a_0^2v_0^\mu+c^2\dot{a}_0^\mu)\int_0^\infty du \delta'(\Delta^2)u^3=\frac{\mu_0q^2}{6\pi c}(\dot{a}_0^\mu+\frac{a_0^2}{c^2}v_0^\mu) $$
即具有Lorentz协变的Abraham-Lorentz力，注意括号中第二项有的教科书中符号为负，来自于度规选择的区别，本文选择$(+,-,-,-)$度规。
对称部分的势为
$$ A^{\mu}_S=\frac{\mu_0q}{8\pi c}\int d\tau \frac{v^\mu(\tau)}{|\tau-\tau_0|}(\delta(u^+)+\delta(u^-)) $$
只要场点在粒子世界线上，对称部分即发散。由在任意场点$x$处对称势可求得对称部分的场为
$$ F^{\mu\nu}_S=\frac{\mu_0qc}{2\pi}\int d\tau \delta'(\Delta^2)[v^\nu(\tau)\Delta^\mu-v^\mu(\tau)\Delta^\nu] $$
粒子在$\tau_0$时刻受到的来自对称部分场的力为
$$ F^\mu_{S}=qF^{\mu\nu}_Sv_{0\nu}=\frac{\mu_0cq^2}{2\pi}\int du \delta'(\Delta^2)\left[\frac{1}{2}c^2u^2a_0^\mu+\frac{1}{3}u^3(a_0^2v_0^\mu+c^2\dot{a}_0^\mu)\right] $$
再次借助奇偶性分析可知$[\ldots]$中的第二项为0，而第一项会给出发散的结果，引入正则化$\Delta^2\to\Delta^2-\epsilon^2$，积分可得
$$ F^\mu_{S}=\frac{\mu_0c^3q^2}{4\pi}a_0^\mu\int du \delta'(\Delta^2-\epsilon^2)u^2=\frac{\mu_0c^3q^2}{4\pi}a_0^\mu(-\frac{1}{2c^3\epsilon})=-\frac{\mu_0q^2}{8\pi\epsilon}a_0^\mu $$
将对称和反对称部分的力均代入运动方程可得
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau}=F_{\text{rad}}^{\mu}+F_{S}^{\mu}+qF^{\mu\nu}v_\nu $$
$$ m_{\text{bare}}a_0^\mu=\frac{\mu_0q^2}{6\pi c}(\dot{a}_0^\mu+\frac{a_0^2}{c^2}v_0^\mu)-\frac{\mu_0q^2}{8\pi\epsilon}a_0^\mu+qF^{\mu\nu}v_\nu $$
即为Abraham-Lorentz-Dirac方程(ALD方程)。如定义
$$ \delta m=\frac{\mu_0q^2}{8\pi\epsilon},\ m_{\text{phys}}=m_{\text{bare}}+\delta m $$
则发散部分被吸收进裸质量中，物理上可观测的质量仍然是有限的，这种思想即为重整化。
可以看到，与非相对论情形相比，ALD力具有协变性，但是对应运动方程仍然是时间的三阶导数，因此预加速(preacceleration)与奔离解(runaway solution)仍然存在。
如上节我们看到的，ALD 方程是一个关于时间的三阶微分方程（包含 $\dot{a}^\mu$），这在数学上导致了不符合物理的预加速与奔离解。Landau 和 Lifshitz 指出，在经典力学范围内，辐射反作用力相对于外部 Lorentz 力通常是很小的。因此，我们可以将辐射项视为微扰，通过将零阶运动方程代入一阶项来降阶。具体做法如下：
首先，定义一个特征时间常数 $\tau_e$：
$$ au_e = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi m c} $$ 对电子，其数值为$6.26\times10^{-24}$s. ALD 方程写为：
$$ a^\mu = \frac{q}{m} F^{\mu\nu} v_\nu + \tau_e \left( \dot{a}^\mu + \frac{a^2}{c^2} v^\mu \right) $$
当辐射项极小时（$\tau_e \to 0$），粒子的加速度由 Lorentz 力决定。这可以作为零阶近似，对零阶方程式两边关于固有时 $\tau$ 求导：
$$ \dot{a}^\mu = \frac{d}{d\tau} \left( \frac{q}{m} F^{\mu\nu} v_\nu \right) = \frac{q}{m} \left[ \left( \frac{d F^{\mu\nu}}{d\tau} \right) v_\nu + F^{\mu\nu} \left( \frac{dv_\nu}{d\tau} \right) \right]\approx \frac{q}{m} \left[ (v^\alpha \partial_\alpha F^{\mu\nu}) v_\nu + F^{\mu\nu} \left( \frac{q}{m} F_{\nu\lambda} v^\lambda \right) \right] $$
其中第一项利用了全微分关系 $\frac{d F^{\mu\nu}}{d\tau} = \frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha} \frac{dx^\alpha}{d\tau} = v^\alpha \partial_\alpha F^{\mu\nu}$，第二项代入了零阶加速度作为近似。整理得：
$$ \dot{a}^\mu \approx \frac{q}{m} (v^\alpha \partial_\alpha F^{\mu\nu}) v_\nu + \frac{q^2}{m^2} F^{\mu\nu} F_{\nu\lambda} v^\lambda $$
对$a^2$项亦代入零级加速度近似，
$$ a^2 \approx \left( \frac{q}{m} F^{\alpha\beta} v_\beta \right) \left( \frac{q}{m} F_{\alpha\lambda} v^\lambda \right) = \frac{q^2}{m^2} (F^{\alpha\beta} v_\beta) (F_{\alpha\lambda} v^\lambda) $$
得到 Landau-Lifshitz 方程
$$ a^\mu = \frac{q}{m} F^{\mu\nu} v_\nu + \frac{q}{m} \tau_e (v^\alpha \partial_\alpha F^{\mu\nu}) v_\nu + \left(\frac{q}{m}\right)^2\tau_e\left[ F^{\mu\nu} F_{\nu\lambda} v^\lambda + \frac{v^\mu}{c^2}(F^{\alpha\beta} v_\beta) (F_{\alpha\lambda} v^\lambda) \right] $$
可见其由三部分组成，第一项由Lorentz力贡献，第二项是梯度项，描述了由于外场在粒子运动范围内的非均匀性导致的修正，第三项是平方项，描述了即使在均匀场中，粒子由于偏转而产生的辐射能量流失及其对轨迹的修正。
可以看到，通过迭代代入，我们成功地将ALD方程转换为了一个可以实际计算的“唯象有效方程”。应该注意，这种近似仅在辐射力远小于 Lorentz 力时有效。
作为一个LL方程的实际应用，考虑同步辐射中电子的能量损失。为简单起见，假设电子处于匀强磁场$\mathbf{B}=B\hat{z}$中，速度始终垂直于磁场。电磁场张量为$F^{21}=-F^{12}=B$, 其余分量为0，梯度项也为0，$v^\mu=\gamma(c,\vec{v})$，LL方程的0分量为
$$ a^0 = \tau_e\left(\frac{q}{mc}\right)^2v^0(F^{\alpha\beta} v_\beta) (F_{\alpha\lambda} v^\lambda) $$
其中$(F^{\alpha\beta} v_\beta) (F_{\alpha\lambda} v^\lambda)=-\gamma^2B^2|\vec{v}|^2$. 进而由$a^0=dv^0/d\tau=c\gamma d\gamma/dt$以及$|\vec{v}|^2=\beta^2c^2$可得
$$ \frac{d\gamma mc^2}{dt}=-\frac{\tau_e}{m}q^2\gamma^2B^2\beta^2c^2 $$
空间分量为
$$ \frac{d\gamma\vec{v}}{dt}=-\frac{q}{m}\vec{B}\times\vec{v}-\left(\frac{q\gamma B}{m}\right)^2\tau_e\vec{v} $$
下面选取第三代同步辐射光源的典型参数进行计算，取$B=1.2$T, 电子能量$E=3$GeV, 则回旋频率$\omega_c=qB/m=2.11\times10^{11}$rad/s, 初始轨道半径$R=\gamma mc/q/B=8.35$m, Lorentz因子$\gamma=5871$. 代入0分量方程得到初始能量损耗功率$P=7.84\times10^{-7}$W, 电子绕行一周时间$T=2\pi\gamma/\omega_c=175$ns，损失能量$\Delta E=PT=857.5$keV.
进一步获得电子的轨迹要求联立求解，定义$\kappa=\omega_c^2\tau_e$,
$$ \frac{d\gamma}{dt}=-\kappa(\gamma^2-1),\ \frac{d\vec{v}}{dt}=-\frac{\omega_c}{\gamma}\hat{z}\times\vec{v}-\frac{\kappa}{\gamma}\vec{v} $$
解得
$$ \gamma(t)=\frac{\gamma_0\cosh(\kappa t)+\sinh(\kappa t)}{\gamma_0\sinh(\kappa t)+\cosh(\kappa t)} $$
$$ v_x(t)+iv_y(t)=\frac{\beta_0c}{\Gamma(t)}\exp\left(-i\frac{\omega_c}{\kappa}\ln\Gamma(t)\right) $$
其中$\Gamma(t)=\cosh(\kappa t)+\sinh(\kappa t)/\gamma_0$为衰减因子，进一步求出回旋半径与回转频率为
$$ R(t)=\frac{R_0}{\cosh(\kappa t)+\gamma_0\sinh(\kappa t)},\ \omega_c(t)=\frac{\omega_{c0}}{\gamma(t)} $$
可见由于能量损失，电子回旋运动的半径在减小、频率在增加，绘制图像如下：
进一步计算电子辐射功率谱，可得临界光子能量
$$ E_{\text{crit}}=\hbar\omega_{\text{crit}}=\hbar\frac{3}{2}\gamma^2\frac{qB}{m} $$
其中$\omega_{\text{crit}}$为临界频率，将电子辐射能谱分为相等的两部分。对上述参数我们有$E_{\text{crit}}=7.15$keV.
从上述计算可以看出，LL方程预言电子的辐射功率正比于$\gamma^2B^2$，即随着电子能量的提高而平方增长。实际上随着电子辐射出光子能量的提高，由于动量守恒，对电子的反冲将变得不可忽略，且单个电子不可能辐射出比自身动量还高的光子，因此LL方程在高能区会显著高估辐射功率；另一方面，光子的发射本质上是服从概率分布（即微分散射截面）的，在低能区辐射的单个光子能量很低，因此总光子数很大，辐射功率是大量光子能量的统计平均，而在高能区，单个光子可能具有较大的能量，这种发射的随机性凸显，使得使电子的能谱出现展宽，这是LL方程作为确定性微分方程无法得出的。
为了描述LL方程的适用范围，定义量子非线性参数
$$ \chi=\frac{2}{3}\frac{E_{\text{crit}}}{E_e} $$
当$\chi\ll1$时，LL方程完全适用；当$\chi\to0.1$甚至更大时，LL方程失效。
2018年，帝国理工学院、马普所等机构的研究人员K. Ponder, A. Di Piazza等人3用超强激光Astra Gemini（峰值功率$4\times10^{20}\mathrm{W/cm^2}$）和激光尾场加速的高能电子束(最大能量超过2GeV)对撞，实验观测到电子束损失能量高达30%，这与LL方程预测的40%存在明显偏差。
激光功率密度与其电磁场强度的关系为
$$ I=\frac{1}{2}\varepsilon_0cE_0^2, B_0=E_0/c $$
从中得到场强$E_0=5.5\times10^{12}\mathrm{V/m},B_0=1.8\times10^5\text{T}$. 由于相对论效应，电子在其静止系下感受到的场强约为$E=4.3\times10^{17}\mathrm{V/m},B=1.4\times10^9\text{T}$，量子非线性参数$\chi\approx0.32$，这显然超出了LL方程的适用范围。